Écoles Noujoum

Mathématiques · 7ème D · Chapitre 1

Les nombres complexes : découverte

Introduction

Prenons n'importe quel nombre réel et multiplions-le par lui-même : 3 × 3 = 9, et (−3) × (−3) = 9 aussi. Le carré d'un nombre réel n'est jamais négatif.

Alors, quel nombre, multiplié par lui-même, donne −1 ? Aucun nombre réel ! Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont inventé de nouveaux nombres : les nombres complexes. Le nom fait peur, mais l'idée est simple.

1Le nombre i

On ajoute aux nombres réels un nouveau nombre, noté i. Il a une seule règle spéciale : multiplié par lui-même, il donne −1.

i × i = i² = −1

2Les nombres complexes

Avec i, on fabrique de nouveaux nombres en mélangeant deux morceaux : un nombre réel, plus un nombre réel multiplié par i. Par exemple : 3 + 5i.

Les nombres réels font partie des nombres complexes : un réel, c'est simplement un nombre complexe sans morceau en i. On note ℝ l'ensemble des nombres réels, et on écrit ℝ ⊂ ℂ (ℝ est contenu dans ℂ).

3Partie réelle et partie imaginaire

L'écriture z = x + iy s'appelle la forme algébrique de z. Elle a deux parties :

• le morceau sans i, x, est la partie réelle de z ; on écrit Re(z) = x ;
• le nombre devant i, y, est la partie imaginaire de z ; on écrit Im(z) = y.

a.Entraînons-nous

b.Deux cas particuliers

• Si Im(z) = 0, le nombre est réel. Exemple : −19.
• Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple : 14i.

4Un nombre complexe, c'est un point

Les nombres réels se rangent sur une ligne. Les nombres complexes, avec leurs deux parties, ont besoin d'un plan muni d'un repère orthonormé (O ; u⃗, v⃗) : deux axes perpendiculaires qui se coupent en O, avec la même unité sur les deux. Les vecteurs u⃗ et v⃗ ont pour longueur 1.

Comme une adresse : la partie réelle dit de combien on va vers la droite, et la partie imaginaire dit de combien on monte.

Doc. 1 – Le point M(x ; y), point image de z = x + iy.

a.Du nombre au point

b.Du point au nombre

Doc. 2 – Les points images des nombres complexes de la leçon.

Conclusion

Dans la prochaine leçon, nous continuerons avec les nombres complexes : le conjugué d'un nombre complexe.