Écoles Noujoum

Physique · 7ème D · Chapitre 1

Référentiel, repères et point matériel

Introduction

Vous êtes assis dans un train qui roule. Êtes-vous en mouvement ou immobile ? La réponse : les deux ! Par rapport au train, vous êtes immobile. Par rapport au sol, vous avancez.

Un mouvement n'a donc de sens que si l'on précise « par rapport à quoi ? ». C'est l'idée de référentiel.

1La cinématique

2Le référentiel

On ne peut pas décrire une position « par rapport au vide » : il faut un objet de référence. Par rapport à une maison, par exemple, on peut dire où se trouve un point.

a.Trois référentiels importants

Doc. 1 – Les trois référentiels : terrestre, géocentrique et de Copernic.

b.Quel référentiel choisir ?

Dans la vie de tous les jours, on utilise la Terre, avec ses routes, ses arbres et ses maisons. Quand on parle d'un mouvement sans préciser, il s'agit du référentiel terrestre.

3Le repère d'espace

Pour situer un point dans le référentiel, on lui associe un repère d'espace : des axes qui partent d'un même point, l'origine O.

Les vecteurs i⃗, j⃗ et k⃗ sont des vecteurs unitaires : leur longueur (leur norme) vaut 1, soit ‖i⃗‖ = ‖j⃗‖ = ‖k⃗‖ = 1. Le repère est le plus souvent orthonormé : les axes sont perpendiculaires deux à deux, avec la même unité de longueur.

Doc. 2 – Le repère d'espace (O ; i, j, k).

4Le repère de temps

À chaque position du point correspond une date. Pour mesurer les dates, il faut un repère de temps :

• une origine des dates : l'instant t = 0, où l'on déclenche le chronomètre ;
• une unité : la seconde (s), unité du système international (S.I.).

Par convention, les instants après l'origine sont comptés positivement (t > 0), et les instants avant l'origine négativement (t < 0).

Doc. 3 – Le repère de temps : l'origine des dates et la seconde.

5Le point matériel

Conclusion

Pour étudier le mouvement d'un solide, on doit choisir :

Dans la prochaine leçon : le vecteur position et la trajectoire.

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Vecteur position et trajectoire

Introduction

Une bille est lancée en l'air : à chaque instant, elle est à un endroit différent. Comment dire exactement où elle se trouve ? Et comment décrire le chemin qu'elle suit ? Pour la position, on utilise une flèche, le vecteur position ; le chemin suivi, c'est la trajectoire.

1Le vecteur position

On choisit un repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗) : trois axes qui partent de l'origine O, avec sur chaque axe un vecteur unitaire (longueur 1). Soit M le point mobile.

Les nombres x, y et z sont les coordonnées cartésiennes de M, aussi appelées composantes du vecteur position. Ce sont des mesures avec leur signe, le long de chaque axe.

2Les équations horaires

Si le point bouge, au moins une de ses coordonnées change avec le temps : c'est une fonction du temps.

a.Exemple : la bille

Une bille est lancée depuis l'origine dans un plan vertical : x = 3t et y = −2t² + 2t (t en s, x et y en m).

3La trajectoire

• Si la trajectoire est une droite, le mouvement est rectiligne (un train sur une voie droite).
• Sinon, il est curviligne (la bille, dont le chemin est courbe).

4L'équation de la trajectoire

Dans un plan, l'équation de la trajectoire donne l'ordonnée y en fonction de l'abscisse x : y = f(x). Le temps n'y apparaît plus. Pour l'obtenir, on élimine le temps entre les équations horaires.

Conclusion

Regarde de nouveau la vidéo si un point n'est pas clair, puis fais le quiz. Dans la prochaine leçon : le vecteur vitesse.

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Le vecteur vitesse

Introduction

Trois voitures roulent exactement aussi vite : l'une vers la droite, l'autre vers la gauche, la troisième vers le haut. Ont-elles la même vitesse ? Non : elles n'ont ni la même direction, ni le même sens. En physique, une vitesse a une valeur, une direction et un sens : c'est un vecteur.

1La vitesse moyenne

À l'instant t₁ le mobile est en M₁, à l'instant t₂ il est en M₂. Son déplacement est le vecteur M₁M₂⃗ = OM₂⃗ − OM₁⃗ = ΔOM⃗ (Δ veut dire « la variation »).

La vitesse moyenne ne dit rien de ce qui se passe entre M₁ et M₂.

2La vitesse instantanée

On rapproche M₂ de M₁ : la durée devient toute petite, la droite M₁M₂ devient la tangente à la trajectoire en M₁, et le rapport ΔOM⃗/Δt devient une dérivée.

3Les quatre caractéristiques

4Exemple : la bille

x = 3t et y = −2t² + 2t. On dérive : vₓ = 3 m/s (toujours) et v_y = −4t + 2 (m/s).

Au sommet S, la bille arrête de monter : v_y = 0, donc −4t + 2 = 0 et t = 0,5 s. En S : origine S, direction horizontale, sens de gauche à droite, valeur v = √(3² + 0²) = 3 m/s.

Conclusion

Regarde de nouveau la vidéo si un point n'est pas clair, puis fais le quiz. Dans la prochaine leçon : le vecteur accélération.

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Le vecteur accélération

Introduction

Au feu vert, une voiture démarre de plus en plus vite ; au feu rouge, elle freine. Ce qui change, c'est sa vitesse. Pour décrire comment la vitesse change, on utilise le vecteur accélération.

1L'accélération moyenne

2L'accélération instantanée

Sa valeur : a = √(aₓ² + a_y² + a_z²), en mètres par seconde carré (m/s²).

3La base de Frenet

Au point où se trouve le mobile, on place deux vecteurs unitaires : t⃗, tangent à la trajectoire, et n⃗, perpendiculaire, vers l'intérieur de la courbe. Dans cette base : a⃗ = aₜ t⃗ + aₙ n⃗.

4Mouvement accéléré ou retardé

Sur un axe : si la composante de la vitesse est positive, le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe, et inversement.

5Exemple : la bille

vₓ = 3 et v_y = −4t + 2. On dérive : aₓ = 0 et a_y = −4, donc a⃗ = −4 j⃗ : 4 m/s², vers le bas, à chaque instant.

Au point I (t = 1 s) : vₓ = 3, v_y = −2, v = √13. cos θ = 2/√13, aₜ = a·cos θ = 4 × 2/√13 ≈ 2,22 m/s² ; aₙ ≈ 3,33 m/s² ; rayon de courbure r = v²/aₙ = 13/3,33 ≈ 3,9 m.

Conclusion

Regarde de nouveau la vidéo si un point n'est pas clair, puis fais le quiz. Dans la prochaine leçon : les mouvements rectilignes : MRU et MRUV.

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MRU et MRUV

Introduction

Sur une route droite, une voiture garde toujours la même vitesse ; une autre démarre et va de plus en plus vite. Les deux mouvements sont rectilignes, mais le premier est uniforme et le second uniformément varié.

1Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)

La vitesse ne change pas : v⃗ = constante, donc a⃗ = dv⃗/dt = 0⃗, et v = vₓ.

x₀ est l'abscisse du mobile à l'instant initial t = 0 (les conditions initiales). Le graphe de x en fonction de t est une droite. À intervalles de temps égaux, le mobile parcourt des distances égales.

2Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

x₀ et v₀ sont l'abscisse et la vitesse initiales (à t = 0). En dérivant x, on retrouve v ; en dérivant v, on retrouve a. Le graphe de v est une droite, celui de x une courbe.

3La relation indépendante du temps

De v = a t + v₀ on tire t = (v − v₀)/a, que l'on remplace dans l'équation de x. Il reste :

Elle est valable entre deux points quelconques A et B de la trajectoire : v_B² − v_A² = 2a (x_B − x_A).

4Exemple : le plateau

x₀ = −7,5 m, v₀ = 8 m/s, a = 5 m/s². Équations : v = 5t + 8 et x = 2,5t² + 8t − 7,5. À t = 1 s : x = 2,5 + 8 − 7,5 = 3 m et v = 5 + 8 = 13 m/s.

Vérification : 13² − 8² = 169 − 64 = 105 et 2 × 5 × (3 − (−7,5)) = 10 × 10,5 = 105.

Conclusion

Regarde de nouveau la vidéo si un point n'est pas clair, puis fais le quiz. Dans la prochaine leçon : l'enregistrement d'un mouvement.

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L'enregistrement d'un mouvement

Introduction

Sans compteur ni radar, comment connaître la vitesse et l'accélération d'un mobile ? On enregistre ses positions à intervalles de temps égaux, puis on calcule.

1L'enregistrement

On note les positions successives A₀, A₁, A₂… Entre deux marques voisines, il s'écoule toujours la même durée θ (l'intervalle de temps d'enregistrement). Chaque marque a une abscisse x₀, x₁, x₂… sur l'axe du mouvement.

2La vitesse en un point

On utilise les deux marques voisines du point, de part et d'autre :

C'est une vitesse moyenne sur un petit intervalle centré sur le point ; on la prend comme vitesse instantanée en ce point.

3L'accélération en un point

4Reconnaître un MRUV

Pourquoi θ² ? Pendant un intervalle, la vitesse augmente de aθ ; pendant l'intervalle suivant (durée θ), le mobile parcourt en plus aθ × θ = aθ².

5Exemple : le plateau

θ = 0,5 s et 1 carreau = 1,25 m. Distances : 2, 3, 4, 5 et 6 carreaux, soit 2,5 m ; 3,75 m ; 5 m ; 6,25 m ; 7,5 m. Chaque distance dépasse la précédente de 1,25 m : progression arithmétique de raison r = 1,25 m, donc MRUV.

a = r/θ² = 1,25/0,25 = 5 m/s². Vérification : v₁ = A₀A₂/2θ = 6,25 m / 1 s = 6,25 m/s ; v₃ = A₂A₄/2θ = 11,25 m/s ; a₂ = (11,25 − 6,25)/1 = 5 m/s².

Conclusion

Regarde de nouveau la vidéo si un point n'est pas clair, puis fais le quiz. Dans la prochaine leçon : la relation fondamentale de la dynamique.